四种基本竞赛方法

1、构造。它的基本形式是:以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解诀。常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法，构造映射等。构造映射的基本形式是RMI原理。令R表示一组原像的关系结构(或原像系统)，其中包含着待确定的原像x，令M表示一种映射，通过它的作用把原像结构R被映成映象关系结构R，其中自然包含着未知原像x的映象x。如果有办法把x确定下来，则通过反演即逆映射1 = M-也就相应地把x确定下来。取对数计算、换元、引进坐标系、设计数学模型，构造发生函数等都体现了这种原理。建立对应来解题，也属于这一技巧。

2、递推与归纳。如果前一件事与后一件事存在确定的关系，那么，就可以从某一(几)个初始条件出发逐步递推，得到任一时刻的结果，用递推的方法解题，与数学归纳法(但不用预知结论)，无穷递降法相联系，关键是找出前号命题与后号命题之间的递推关系。

3、分类讨论。当数学黑箱过于复杂时，可以分割为若干个小黑箱逐一破译, 即把具有共同性质的部分分为一类, 形成数学上很有特色的方法一区分情 况或分类，不会正确地分类就谈不上掌握数学。有时候，也可以把一个问题分阶段排成一些小目标系列，使得一旦证明了 前面的情况，便可用来证明后面的情况，称为爬坡式程序。比如，解柯西函数方程就是将整数的情况归结为自然数的情况来解决，再将有理数的情况归结为整数的情祝来解决,最后是实数的情祝归结为有理数的情况来解决。

4、对称。对称性分析就是将数学的对称美与题目的条件或结论相结合，再凭借知识经验与审美直觉，从而确定解题的总体思想或入手方向。