平面向量共线定理
2024-10-08 00:43:47
平面向量共线定理:共线向量也就是平行向量,方向相同或相反的非零向量叫平行向量,表示为a∥b,任意一组平行向量都可移到同一直线上,所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果a≠0,那么向量b与a共线的充要条件是:存在唯一实数λ,使得b=λa。
如果a≠0,那么向量b与a共线的充要条件是:存在唯一实数λ,使得b=λa。
证明:
1、充分性:对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么由实数与向量的积的定义知,向量a与b共线。
2、必要性:已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的m倍,即∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时,令λ=m,有b=λa,当向量a与b反方向时,令λ=-m,有b=λa。如果b=0,那么λ=0。
3、唯一性:如果b=λa=μa,那么(λ-μ)a=0。但因a≠0,所以λ=μ。
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