官方双语微积分的本质

1、两种重要的、针对函数的运算：求导与积分。它们的运算结果也是一个函数。先说求导。对于函数 f(x) ，它的导函数 （即求导运算的结果，简称导数）记作 f′(x) 。简单来说，f′(x0) 就是f(x) 在 x0 这点的切线斜率。即， f′(x) 是 f(x) 的切线斜率关于切点横坐标的函数。

为了方便描述，引入一个表示「微小变化量」（自己起的名字）的符号。以后默认用 dx 表示变量 x 的变化量（ dy 表示变量 y 的变化量，以此类推），且 dx 趋近于 0 。那么对于 x0 和它的函数值 f(x)=y ，设当 x 增加了 dx 时 y 增加了 dy 。由于这个变化量是「微小」（趋近于 0 ）的，所以 x 和 x+dx 之间的函数图象可以近似成一条直线，它的斜率就是 dydx 。因此，有时也把导函数写成 f′(x)=dydx 。

注意，不同的 x 会造成 dy 取不同的值。有点懵？先从最简单的例子，一次函数说起。显然，无论 x 如何改变，也无论 dx 取何值（哪怕不趋近于 0 ） ，dydx 都是一个定值，即这个一次函数的斜率 k （换句话说，这个一次函数处处的切线都与它本身重合）。因此，一次函数的导数是一个常函数 f′(x)=k 。

再举一个稍复杂的例子。对于 f(x)=x2 ，可以这样求出它的导函数：f′(x)=dydx=f(x+dx)?f(x)dx=(x+dx)2?x2dx=2dx?x+dx2dx=2x+dx由于 dx 趋近于 0 ，所以 f′(x)=2x 。于是我们成功算出了 f(x)=x2 的导数是 f′(x)=2x 。不妨再拓展一下，证明 f(x)=xk 的导数是 f′(x)=kxk?1 。做法和刚才类似（其中用了一次二项式定理）：f′(x0)=f(x0+dx)?f(x0)dx=(x0+dx)k?xk0dx=∑ki=0Cikxi0dxk?i?xk0dx=∑k?1i=0Cikxi0dxk?idx=∑i=0k?1Cikxi0dxk?i?1。

到这里似乎不知道怎么办了？别忘了 dx 趋近于 0 ，所以只有 k?i?1=0 即 i=k?1 这一项是非 0 的！激动.jpg 。所以，f′(x0)=kxk?10 。x0 是任意的，所以 f′(x)=kxk?1 。

2、导数的加减：h(x)=f(x)+g(x),h′(x)=f′(x)+g′(x)。设 yf=f(x) ，yg=g(x) ，yh=h(x) （类似的记号下面不再赘述） ，同时别忘了 f′(x)=dyfdx ， g′(x)=dygdx ，则有：∵yh=yf+yg,(yh+dyh)=(yf+dyf)+(yg+dyg)∴dyh=dyf+dyg=f′(x)dx+g′(x)dx=(f′(x)+g′(x))dx两边同时除以 dx ，得到 h′(x)=dyhdx=f′(x)+g′(x) 。

3、导数的乘法：h(x)=f(x)g(x),h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)口诀：「左乘右导，右乘左导」证明如下：∵yh=yf?yg,(yh+dyh)=(yf+dyf)?(yg+dyg)∴dyh=yf?yg+yf?dyg+yg?dyf+dyf?dyg?yh=yf?dyg+yg?dyf+dyf?dyg=f(x)?g′(x)dx+g(x)?f′(x)dx+f′(x)dx?g′(x)dx两边同时除以 dx 得：h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)+f′(x)g′(x)dx同样，带 dx 的项趋近于 0 ，因此 h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x) 。

4、链式法则：若 h(x)=f(g(x)) ，则 h′(x)=f′(g(x))?g′(x) 。当自变量从 x0 变成 x0+dx ，则 yf 的变化量是 f′(x0)dx 。现在，g 的自变量的变化量是 dx ，yg 的变化量是 g′(x)dx ，所以 yf 的变化量是 f′(g(x))?g′(x)dx （注意 f 的自变量的初值是 g(x) 不是 x ）。因此 h′(x)=f′(g(x))?g′(x) 。

5、导数的除法：若 h(x)=f(x)g(x) ，则 h′(x)=g(x)f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2。

6、证明：∵yh=yfyg,(yh+dyh)=yf+dyfyg+dyg∴dyh=yf+dyfyg+dyg?yfyg=yg(yf+dyf)?yf(yg+dyg)yg(yg+dyg)=g(x)f(x)+g(x)f′(x)dx?f(x)g(x)?f(x)g′(x)dxg(x)2+g(x)g′(x)dx=g(x)f′(x)dx?f(x)g′(x)dxg(x)2+g(x)g′(x)dx。两边同时除以 x ，得到：h′(x)=g(x)f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2+g(x)g′(x)dx，由于 dx 趋于 0 ，所以：h′(x)=g(x、f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2。